by Phá dấu giá trị tuyệt đối thường hay gây những nhầm lẫn về dấu dẫn tới kết quả sai. Trong bài viết này, mình sẽ phân nó thành 3 dạng bài toán thường gặp. ứng với mỗi dạng toán có kèm phương pháp giải cũng như ví dụ minh họa.
Bài toán 1: phương trình |f(x)| = k
Nếu đề cho phương trình |f(x)| = k, với k có giá trị không âm thì ta làm như sau
- Bước 1: Biện luận để hàm f(x) có nghĩa
- Bước 2: giải $\left| {f\left( x \right)} \right| = k \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f\left( x \right) = k\\ f\left( x \right) = – k \end{array} \right.$
- Bước 3: Kiểm tra lại nghiệm
Ví dụ: Hãy giải phương trình có dấu giá trị tuyệt đối như sau
a) |2x + 3| = 8
b) |2 – 5x| = 2
c) $\left| {\frac{{5x – 2}}{{3x}}} \right| = 5$
Lời giải
a) |2x + 3| = 8 $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x + 3 = 8\\ 2x + 3 = – 8 \end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{l} x = \frac{5}{2}\\ x = \frac{{11}}{2} \end{array} \right.$
Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm là x = 5/2 và x = 11/2
b) |2 – 5x| = 2 $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2 – 5x = 2\\ 2 – 5x = – 2 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \frac{4}{5} \end{array} \right.$
Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm là x = 0 và x = 4/5
c) $\left| {\frac{{5x – 2}}{{3x}}} \right| = 5$
Tập xác định: x ≠ 0
$\left| {\frac{{5x – 2}}{{3x}}} \right| = 5$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{5x – 2}}{{3x}} = 5\\ \frac{{5x – 2}}{{3x}} = – 5 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 5x – 2 = 15x\\ 5x – 2 = – 15x \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – \frac{2}{{10}}\\ x = \frac{1}{{10}} \end{array} \right.$
Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm là x = – 2/10 và x = 1/10
Bài toán 2: Phương trình |f(x)| = g(x)
Hãy giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối có dạng tổng quát: |f(x)| = g(x)
- Bước 1: Cần tìm miền xác định của hai hàm f(x), g(x)
- Bước 2: Giải $\left| {f\left( x \right)} \right| = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f\left( x \right) = g\left( x \right)\\ f\left( x \right) = – g\left( x \right) \end{array} \right.$
- Bước 3: Loại bỏ những nghiệm không thuộc miền xác định
Ví dụ: Hãy giải phương trình sau
a) |5x – 3| = 6x + 1
b) |9 – 2x| = 5x
c) $\left| {\frac{{9x}}{{3x + 5}}} \right| = 6x$
Lời giải
a) |5x – 3| = 6x + 1 <=> $\left[ \begin{array}{l} 5x – 3 = 6x + 1\\ 5x – 3 = – \left( {6x + 1} \right) \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 4\\ x = \frac{2}{{11}} \end{array} \right.$
Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm là x = 4 và x = 2/11
b) |9 – 2x| = 5x <=> $\left[ \begin{array}{l} 9 – 2x = 5x\\ 9 – 2x = – 5x \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{9}{7}\\ x = – 3 \end{array} \right.$
Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm là x = 9/7 và x = – 3
c) $\left| {\frac{{9x}}{{3x + 5}}} \right| = 6x$
Tập xác định: 3x + 5 ≠ 0 <=> x = – 5/3
$\left| {\frac{{9x}}{{3x + 5}}} \right| = 6x$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{9x}}{{3x + 5}} = 6x\\ \frac{{9x}}{{3x + 5}} = – 6x \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 9x = 18{x^2} + 30x\\ 9x = – 18{x^2} – 30x \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 18{x^2} + 21x = 0\\ 18{x^2} + 39x = 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = – \frac{7}{6}\\ x = – \frac{{39}}{{18}} \end{array} \right.$
kết luận: Phương trình có 3 nghiệm là x = 0; x = – 7/6 và x = – 39/18
Bài toán 3: phương trình |f(x)| = |g(x)|
Hãy giải phương trình có dấu giá trị tuyệt đối dạng tổng quát |f(x)| = |g(x)|
Bạn có thể làm theo tuần tự 3 bước giải sau đây:
- Bước 1: Tìm miền xác định của hai hàm f(x) và g(x)
- Bước 2: $\left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {g\left( x \right)} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f\left( x \right) = g\left( x \right)\\ f\left( x \right) = – g\left( x \right) \end{array} \right.$
- Bước 3: Loại nghiệm nhờ miền xác định ở bước 1
Ví dụ: Giải phương trình sau
a) |3x2 + 6x| = |4x + 1|
b) $\left| {\frac{7}{{6x}}} \right| = \left| {2x + 5} \right|$
c) $\left| {\frac{{5{x^2} – 1}}{{3 – 2x}}} \right| = \left| {11x – 1} \right|$
Lời giải
a) |3x2 + 6x| = |4x + 1| <=> $\left[ \begin{array}{l} 3{x^2} + 6x = 4x + 1\\ 3{x^2} + 6x = – \left( {4x + 1} \right) \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3{x^2} + 2x – 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – 1\\ x = \frac{1}{3} \end{array} \right.\\ 3{x^2} + 10x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{ – 5 + \sqrt {22} }}{3}\\ x = \frac{{ – 5 – \sqrt {22} }}{3} \end{array} \right. \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – 1\\ x = \frac{1}{3}\\ x = \frac{{ – 5 + \sqrt {22} }}{3}\\ x = \frac{{ – 5 – \sqrt {22} }}{3} \end{array} \right.$
Kết luận:Phương trình có 4 nghiệm là $x = – 1$; $x = \frac{1}{3}$; $x = \frac{{ – 5 + \sqrt {22} }}{3}$; $x = \frac{{ – 5 – \sqrt {22} }}{3}$
b) $\left| {\frac{7}{{6x – 2}}} \right| = \left| {2x + 5} \right|$
Miền xác định: 6x – 2 ≠ 0 <=> x ≠ 1/3
$\left| {\frac{7}{{6x – 2}}} \right| = \left| {2x + 5} \right|$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{7}{{6x – 2}} = 2x + 5\\ \frac{7}{{6x – 2}} = – \left( {2x + 5} \right) \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 7 = \left( {2x + 5} \right)\left( {6x – 2} \right)\\ 7 = – \left( {2x + 5} \right)\left( {6x – 2} \right) \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 12{x^2} + 26x – 17 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{ – 13 + \sqrt {373} }}{{12}}\\ x = \frac{{ – 13 – \sqrt {373} }}{{12}} \end{array} \right.\\ 12{x^2} + 26x – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{ – 13 + \sqrt {205} }}{{12}}\\ x = \frac{{ – 13 – \sqrt {205} }}{{12}} \end{array} \right. \end{array} \right.$
kết luận: Phương trình có 4 nghiệm lần lượt là $x = \frac{{ – 13 + \sqrt {373} }}{{12}}$; $x = \frac{{ – 13 – \sqrt {373} }}{{12}}$; $x = \frac{{ – 13 + \sqrt {205} }}{{12}}$; $x = \frac{{ – 13 – \sqrt {205} }}{{12}}$
c) $\left| {\frac{{5{x^2} – 1}}{{3 – 2x}}} \right| = \left| {11x – 1} \right|$
Miền xác định 3 – 2x ≠ 0 <=>x ≠ 1,5
$\left| {\frac{{5{x^2} – 1}}{{3 – 2x}}} \right| = \left| {11x – 1} \right|$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{5{x^2} – 1}}{{3 – 2x}} = 11x – 1\\ \frac{{5{x^2} – 1}}{{3 – 2x}} = – \left( {11x – 1} \right) \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 5{x^2} – 1 = \left( {11x – 1} \right)\left( {3 – 2x} \right)\\ 5{x^2} – 1 = – \left( {11x – 1} \right)\left( {3 – 2x} \right) \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 5{x^2} – 1 = – 22{x^2} + 35x – 3\\ 5{x^2} – 1 = – \left( { – 22{x^2} + 35x – 3} \right) \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 27{x^2} – 35x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1,2364\\ x = 0,06 \end{array} \right.\\ 17{x^2} – 35x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{35 + \sqrt {953} }}{{34}}\\ x = \frac{{35 – \sqrt {953} }}{{34}} \end{array} \right. \end{array} \right.$
Kết luận: Phương trình có 4 nghiêm là x = 1,2364; x = 0,06; $x = \frac{{35 + \sqrt {953} }}{{34}}$ và $x = \frac{{35 – \sqrt {953} }}{{34}}$
Trên đây là nội dung các bài toán về giá trị tuyệt đối ở lớp 7 bạn cần quan tâm. Hy vọng với những chia sẻ ở trên đã phần nào đóng góp được cho bạn những kiến thức bổ ích.
