by Nguyên hàm từng phần là một phương pháp giải các bài toán nguyên hàm nâng cao hiệu quả nhất hiện nay. Bài viết này được biên soạn với mong muốn giúp bạn hiểu hơn về phương pháp này.
A. Công thức nguyên hàm từng phần
Công thức tổng quát là:
B. Bài toán
Hãy tính nguyên hàm của hàm f(x) có dạng như sau:
Lời hướng dẫn
Bước 1: Ta tiến hành đặt
(v(x) là một nguyên hàm của h(x))
Bước 2: Khi này, nguyên hàm ban đầu sẽ trở thành
Để bạn hiểu hơn về những bước trên, ta cùng nhau vào ví dụ sau:
Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của hàm số có dạng sau f(x) = lnx
Lời giải
Dựa theo phương pháp trên, ta làm như sau
Bước 1: Đầu tiên ta cần đặt
Khi đó:
C. Các dạng toán nguyên hàm từng phần thường gặp
Dạng 1: Tìm nguyên hàm của hàm số logarit
Hãy tính nguyên hàm của hàm số logarit sau
với f(x) là một hàm của đa thức.
Phương pháp giải
– Bước 1: Ta tiến hành đặt
– Bước 2: Dựa vào việc đặt ở trên, ta suy ra
Để bạn hiểu rõ hơn về dạng này, chúng ta cùng nhau làm 1 ví dụ sau đây nhé:
Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x.lnx
Hướng dẫn giải
Dựa vào phương pháp giải ở trên bạn dễ thấy
Bước 1: Ta tiến hành đặt biểu thức dạng
Bước 2: Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:
Dạng 2: Nguyên hàm của hàm số mũ
Tính nguyên hàm của hàm số mũ $A = \int {f\left( x \right){e^{ax + b}}dx} $ với f(x) là một hàm đa thức.
Phương pháp:
– Bước 1: Ta tiến hành đặt
– Bước 2: Dựa vào việc đặt ở bước 1, ta có: $\int {f\left( x \right){e^{ax + b}}dx} = uv – \int {vdu} $
Để hiểu hơn về dạng toán này, ta cùng nhau xem ví dụ sau đây
Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của biểu thức sau $I = \int {x{e^x}{\rm{d}}x} $
Lời giải
Dựa theo phương pháp trên, ta tiến hành đặt
Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:
Dạng 3: Hàm số lượng giác và hàm đa thức
Hãy tính nguyên hàm của hàm số lượng giác \[A = \int {f\left( x \right)\sin \left( {ax + b} \right)dx} \] hoặc \[B = \int {f\left( x \right)\cos \left( {ax + b} \right)dx} \]
Hướng dẫn giải
– Bước 1: Ta tiến hành đặt như sau
– Bước 2: Dựa vào việc đặt ở bước 1, ta biến đổi thành
Để hiểu hơn ví dụ này, ta cùng nhau xem ví dụ sau đây.
Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của hàm lượng giác sau $A = \int {x\sin xdx} $
Lời giải
Đây là một nguyên hàm kết hợp giữa nguyên hàm lượng giác, bạn hãy làm như sau:
Dựa theo phương pháp trên, ta đặt như sau
Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:
Dạng 4: Hàm số lượng giác và hàm số mũ
Hãy tình nguyên hàm kết hợp giữa hàm số lượng giác và hàm số mũ
Các bước giải như sau:
– Bước 1: Ta tiến hành đặt như sau
– Bước 2: Khi đó, nguyên hàm sẽ tính theo công thức tổng quát $uv – \int {vdu} $
Lưu ý: Đây là dạng toán phức tạp nên cần lấy nguyên hàm từng phần 2 lần. Ngoài ra, ở bước 1 ta có thể đặt khác chút bằng cách đặt
Để giúp bạn hiểu hơn dạng toán này, mời bạn theo dõi một ví dụ đưới dây nha:
Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của hai hàm là hàm lượng giác và hàm e mũ sau đây $I = \int {\sin x.{e^x}{\rm{d}}x} $
Phương pháp giải
Đây là một nguyên hàm kết hợp giữa nguyên hàm lượng giác, nguyên hàm của e mũ u. Bạn hãy làm như sau:
Ta tiến hành đặt như sau
Khi đó, nguyên hàm trở thành:
Lúc này ta tính: $J = \int {\cos x{e^x}dx} $
Để tính được J, bạn cần lấy nguyên hàm từng phần lần 2. Cụ thể là
Đặt như sau
Khi đó:
Trên đây là bài viết chia sẻ cách dùng nguyên hàm từng phần giải những bài nguyên hàm phức tạp. Hy vọng bài viết này hữu ích với bạn trong quá trình học tập.
