Tháng Bảy 24, 2024

Bảng các công thức đạo hàm cơ bản

Kiến thức đạo hàm không chỉ phụ vụ ôn thi học kì lớp 11 mà còn được ứng dụng khá nhiều trong thực tế, ngoài ra là kiến thức vô cùng quan trọng để bạn học tốt chương khảo sát hàm số lớp 12. Vì vậy, Nztech đã tìm hiểu, tổng hợp sau đó biên soạn được bảng các công thức đạo hàm lớp 11 phần đại số bám sát theo chương trình sách giáo khoa toán lớp 11 bậc trung học phổ thông của bộ giáo dục và đào tạo. Đây được coi là tài liệu giúp bạn hệ thống hóa các kiến thức.

1. Những quy tắc đạo hàm cần nhớ 

Ta có 2 trường hợp là hàm cơ bản và hàm hợp

1.1 Quy tắc với hàm căn bản

Gọi a = a(x) và b = b(x) là các hàm số có thỏa mãn định nghĩa đạo hàm tại x nằm trong tập xác định đã biết. Khi đó

  • Quy tắc 1: k’ = 0, với k = const
  • Quy tắc 2: (a + b)’ = a’ + b’
  • Quy tắc 3: (a – b)’ = a’ – b’
  • Quy tắc 4: (a.b)’ = a’b + ab’
  • Quy tắc 5: $\left( {\frac{a}{b}} \right)’ = \frac{{a’b – ab’}}{{{v^2}}}$ với (b(x) ≠ 0)

Kiến thức mở rộng

  • Mở rộng quy tắc 2: (u1 + u2 + u3 + … un)’ = (u1)’ + (u2)’ + (u2)’ + …. (un)’
  • Kết hợp quy tắc 1 và 2: (ku)’ = ku’, với k = const
  • Mở rộng quy tắc 5: $\left( {\frac{1}{u}} \right)’ = \frac{{ – u’}}{u},$ với u(x) ≠ 0

1.2 Quy tắc với hàm hợp

Giả sử hàm y = f(v), với v = v(x)

Thì đạo hàm của y theo x là y’ = (fx)’.(vx)’ (1.2)

Dựa vào quy tắc (1.2) ta suy ra hệ quả quan trọng sau: (vn)’ = n.vn-1.v’

2. Bảng các công thức đạo hàm

Dựa vào 2 quy tắc hàm hợp và hàm căn bản trên ta có bảng công thức đạo hàm cần nhớ sau

Các công thức đạo hàm

3. Bài tập

Ví dụ: Hãy tính đạo hàm cơ bản sau

a) $y = \sqrt {2{x^2} + 3x + 1} $

b) $y = \sqrt[5]{{\sqrt {2{x^2} + 1} + 3x + 2}}$

Lời giải

a) $y’ = \frac{{(2{x^2} + 3x + 1)’}}{{2\sqrt {2{x^2} + 3x + 1} }} = \frac{{4x + 3}}{{2\sqrt {2{x^2} + 3x + 1} }}$

b) $y’ = \frac{1}{{5.\sqrt[5]{{{{(\sqrt {2{x^2} + 1} + 3x + 2)}^4}}}}}(\sqrt {2{x^2} + 1} + 3x + 2)’$

$ = \frac{1}{{5.\sqrt[5]{{{{(\sqrt {2{x^2} + 1} + 3x + 2)}^4}}}}}(\frac{{2x}}{{\sqrt {2{x^2} + 1} }} + 3)$

Ví dụ 2: Hãy tính đạo hàm của hàm lượng giác sau

a) $y = \sqrt {2{{\sin }^2}(2x – 1) + \cos \sqrt x } $

b) $y = \tan ({\sin ^2}3x) + \sqrt {{{\cot }^2}(1 – 2{x^3}) + 3} $

c) $y = \sqrt[3]{{\sin (\tan x) + \cos (\cot x)}}$

Lời giải

a) $y’ = \frac{{(2{{\sin }^2}(2x – 1) + \cos \sqrt x )’}}{{2\sqrt {2{{\sin }^2}(2x – 1) + \cos \sqrt x } }}$

$ = \frac{{2\sin (4x – 2) – \frac{1}{{2\sqrt x }}\sin \sqrt x }}{{2\sqrt {2{{\sin }^2}(2x – 1) + \cos \sqrt x } }}$

$ = \frac{{4\sqrt x \sin (4x – 2) – \sin \sqrt x }}{{4\sqrt {2x{{\sin }^2}(2x – 1) + x\cos \sqrt x } }}$

b) $y’ = [1 + {\tan ^2}({\sin ^2}3x)]({\sin ^2}3x)’ + \frac{{[{{\cot }^2}(1 – 2{x^3}) + 3]’}}{{2\sqrt {{{\cot }^2}(1 – 2{x^3}) + 3} }}$

$ = 3[1 + {\tan ^2}({\sin ^2}3x)]\sin 6x + \frac{{6{x^2}{\rm{[}}1 + {{\cot }^2}(1 – 2{x^3}){\rm{]}}\cot (1 – 2{x^3})}}{{\sqrt {{{\cot }^2}(1 – 2{x^3}) + 3} }}$

c) $y’ = \frac{{[\sin (\tan x) + \cos (\cot x)]’}}{{3\sqrt {{{[\sin (\tan x) + \cos (\cot x)]}^2}} }}$

$ = \frac{{(1 + {{\tan }^2}x)\cos (\tan x) + (1 + {{\cot }^2}x)\sin (\cot x)}}{{3\sqrt {{{[\sin (\tan x) + \cos (\cot x)]}^2}} }}$

Ví dụ 3: Hãy tính đạo hàm $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {x^3}\sin \frac{1}{x}{\rm{ khi }}x \ne 0\\ 0{\rm{ khi }}x = 0{\rm{ }} \end{array} \right.$

Lời giải

$x \ne 0 \Rightarrow f'(x) = 3{x^2}\sin \frac{1}{x} – x\cos \frac{1}{x}$

Với $x = 0 \Rightarrow f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) – f(0)}}{x} = 0$

Vậy là $f'(x) = \left\{ \begin{array}{l} 3{x^2}\sin \frac{1}{x} – x\cos \frac{1}{x}{\rm{ khi }}x \ne 0\\ 0{\rm{ khi }}x = 0 \end{array} \right.$

Ví dụ 4: Tìm a, b để các hàm số sau có đạo hàm trên R: $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2} – x + 1{\rm{ }}\,\,\,\,{\rm{khi }}x \le 1\\ – {x^2} + ax + b{\rm{ khi }}x > 1 \end{array} \right.$

Lời giải

Với x ≠ 1 thì hàm số luôn có đạo hàm

Do đó hàm số có đạo hàm trên R <=> hàm số có đạo hàm tại x = 1 .

Do đó: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x) = 1;{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = a + b – 1$

Hàm số liên tục trên R: $ \Leftrightarrow a + b – 1 = 1 \Leftrightarrow a + b = 2$

Khi đó: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{f(x) – f(1)}}{{x – 1}} = 1;{\rm{ }}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f(x) – f(1)}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ – {x^2} + ax + 1 – a}}{{x – 1}} = a – 2$

Nên hàm số có đạo hàm trên R thì $\left\{ \begin{array}{l} a + b = 2\\ a – 2 = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 3\\ b = – 1 \end{array} \right.$

Giống như tất cả các chủ đề khác, muốn nhớ lâu các công thức đạo hàm thì đầu tiên bạn cần phải có thái độ học tập nghiêm tục, ham học. Ghi những công thức căn bản ra, sau khi thuộc căn bản thì ghi các công thức hàm hợp. Khi các công thức đã nhớ rõ thì mới chuyển sang phần bài tập. Tất nhiên bài tập bạn cũng phải làm từ căn bản tới nâng cao

Trên đây là những chia sẻ về các công thức đạo hàm và cách học sao cho hiệu quả. Hy vọng tài liệu này hữu ích với bạn trong quá trình ôn luyện. Chúc bạn học tập tốt và nhớ quay lại trang Nztech nhé