Tháng Bảy 24, 2024

Con lắc đơn dao động điều hòa

Trong bài viết hôm nay, Nztech giới thiệu với bạn chủ đề con lắc đơn dao động điều hòa. Đây là một đơn vị kiến thức vật lý thuộc lớp đầu 12. Nội dung bài viết này gồm 3 phần như mục lục giới thiệu dưới đây

1. Con lắc đơn là gì?

Định nghĩa: Một cơ hệ gồm sợi dây không co dãn có chiều dài ℓ, một đầu gắn cố định còn đầu kia gắn vào vật có khối lượng m coi như chất điểm.

Từ vị trí cân bằng của quả nặng, kéo nó theo phương tiếp tuyến tới vị trị α0 rồi thả nhẹ thì thấy quả nặng chuyển động qua lại xung quanh vị trí cân bằng O.

Con lắc đơn

2. Khảo sát dao động của con lắc

Vào thời điểm t kể từ khi thả vật nặng để nó chuyển động:

con lắc đơn

Quả nặng luôn chịu tác dụng của

  • Lực căng sợi dây $\overrightarrow T $
  • Trọng lực $\overrightarrow P $, lực này được phân tích thành 2 lực thành phần là $\overrightarrow {{P_n}} $ và $\overrightarrow {{P_t}} $ theo: $\overrightarrow P = \overrightarrow {{P_n}} + \overrightarrow {{P_t}} $
  • Lực $\overrightarrow {{P_n}} $ có phương của sợi dây, ngược chiều với lực căng dây $\overrightarrow T $
  • Lực $\overrightarrow {{P_t}} $ thì gây ra chuyển động, lực này luôn hướng theo phương tiếp tuyến về vị trí cân bằng.

Tổng hợp lực tác dụng vào quả nặng: $\overrightarrow T + \overrightarrow P = m\overrightarrow a \left( 1 \right)$

Chiếu (1) lên phương tiếp tuyến, chiều dương hướng ra xa vị trí cân bằng:

– mg.sinα = ma <=> a + g.sinα = 0 (2)

Nếu góc ban đầu là rất nhỏ ( α0 ≤ 100) thì giá trị sinα ≈ α = $\frac{s}{\ell }$ (3)

Thế (3) vào (2), ta có: a + g.$\frac{s}{\ell }$ = 0 <=>$s” + \frac{g}{\ell }.s = 0$

Đặt ${\omega ^2} = \frac{g}{\ell }$ => s” + ω2.s = 0 (4)

Phương trình vi phân (4) chứng tỏ con lắc đơn dao động điều hòa với s = s0cos(ωt + φ) (5)

Kết luận: Một con lắc lò xo lý tưởng nếu kích thích đề li độ góc cực đại α0 ≤ 100 thì con lắc sẽ dao động điều hòa với phương trình s = s0cos(ωt + φ)

2. Phương trình dao động con lắc đơn

Con lắc đơn lý tưởng dao động điều hòa với

  • Phương trình li độ dài: s = s0cos(ωt + φ)
  • Phương trình vận tốc: v = – ωs0sin(ωt + φ)

Ngoài ra, ta có thể viết phương trình dao động của con lắc đơn theo phương trình li độ góc: s = αℓ hay α = α0cos(ωt + φ)

Trong đó:

  • s là li độ dài (đơn vị thường là cm)
  • s0 là li độ dài (đơn vị thường là cm)
  • α li độ góc (đơn vị thường là rad)

3. Bài tập vận dụng

Bài tập 1. Một cơ hệ con lắc đơn dao động điều hòa với phương trình s = 6cos(πt + π/3) cm.

a) Viết phương trình li độ góc của con lắc khi biết chiều dài sợi dây là ℓ = 1,5 m

b) vào thời điểm t = 2 s thì li độ dài và li độ góc bằng bao nhiêu?

c) khi vật đạt vận tốc v = 3π cm/s thì li độ góc của vật bằng bao nhiêu?

Lời giải

a) Theo đề: li độ góc cực đại là ${\alpha _0} = \frac{{{s_0}}}{\ell } = \frac{{0,06}}{{1,5}} = 0,04\left( {rad} \right)$

Phương trình li độ góc α = 0,04cos(πt + π/3) (rad)

b) Lúc t = 2 s thì

  • li độ dài s = 6cos(π.2 + π/3) = 3 cm
  • li độ góc α = 0,04cos(π.2 + π/3) = 0,02 (rad)

c) Ta thấy: $\cos \left( {\omega t + \varphi } \right) = \frac{s}{{{s_0}}}$ $ \Rightarrow {\cos ^2}\left( {\omega t + \varphi } \right) = {\left( {\frac{s}{{{s_0}}}} \right)^2}\left( 1 \right)$

Mặt khác: $\sin \left( {\omega t + \varphi } \right) = – \frac{v}{{\omega {s_0}}}$ $ \Rightarrow {\sin ^2}\left( {\omega t + \varphi } \right) = {\left( {\frac{v}{{\omega {s_0}}}} \right)^2}\left( 2 \right)$

Lấy (1) + (2): ${\cos ^2}\left( {\omega t + \varphi } \right) + {\sin ^2}\left( {\omega t + \varphi } \right) = {\left( {\frac{s}{{{s_0}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{v}{{\omega {s_0}}}} \right)^2}$<=>$1 = {\left( {\frac{s}{{{s_0}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{v}{{\omega {s_0}}}} \right)^2}$$ \Rightarrow s = {s_0}.\sqrt {1 – {{\left( {\frac{v}{{{s_0}\omega }}} \right)}^2}} $

Thay số vào: $ \Rightarrow s = 6.\sqrt {1 – {{\left( {\frac{{3\pi }}{{6.\pi }}} \right)}^2}} = 3\sqrt 3 \left( {cm} \right)$

vậy lí độ góc là $\alpha = \frac{s}{\ell } = \frac{{3\sqrt 3 }}{{1,5}} = 2\sqrt 3 \left( {rad} \right)$

Bài tập 2. Cơ hệ con lắc đơn đang dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 3 cm với chu kì T = 2,5 s. Biết sợi dây dài 2 m.

a) Hãy tìm gia tốc trọng trường tại vị trí khảo sát thí nghiệm

b) Viết phương li độ góc của con lắc khi quả nặng đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương

Lời giải

a) Ta có: $T = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{g}} $$ \Rightarrow g = {\left( {\frac{{2\pi }}{T}} \right)^2}.\ell $$ = {\left( {\frac{{2\pi }}{{2,5}}} \right)^2}.2 = 12,8\left( {m/{s^2}} \right)$

Gia tốc trọng trường tại nơi khảo sát là g = 12,8 m/s2.

b) Tần số góc là $\omega = \frac{{2\pi }}{T}$$ = \frac{{2\pi }}{{2,5}}$$ = 0,8\pi \left( {\frac{{rad}}{s}} \right)$

Li độ dao động cực đại ${s_0} = \frac{L}{s} = \frac{3}{2} = 1,5\left( {cm} \right)$

Khi vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương, nghĩa là $\left\{ \begin{array}{l} t = 0\\ s = 0\\ v > 0 \end{array} \right.$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \cos \varphi = 0\\ sin\varphi < 0 \end{array} \right.$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \varphi = \pm \frac{\pi }{2}\\ sin\varphi < 0 \end{array} \right.$$ \Rightarrow \varphi = – \frac{\pi }{2}$

Vậy phương trình li độ là s = 1,5cos(0,8πt – π/2) cm

Li độ góc cực đại: ${\alpha _0} = \frac{{{s_0}}}{\ell } = \frac{{0,015}}{2} = 7,{5.10^{ – 3}}\left( {rad} \right)$

Phương trình li độ góc α = 7,5.10-3cos(0,8πt – π/2) rad

Trên đây là bài viết Nztech chia sẻ những kiến thức cơ bản về con lắc đơn, hy vọng nó sẽ giúp ích bạn trong quá trình học tập.