Tháng Bảy 24, 2024

$\log _2^2{x^2} – 4{\log _2}{x^3} + 8 = 0.$

Giải các phương trình sau:
a) $\log _2^2{x^2} – 4{\log _2}{x^3} + 8 = 0.$
b) $\frac{6}{{{{\log }_2}16x}} + \frac{4}{{{{\log }_2}\left( {{x^2}} \right)}} = 2.$

Lời giải

a) $\log _2^2{x^2} – 4{\log _2}{x^3} + 8 = 0$ $(1).$
Điều kiện: $x>0.$
$(1) \Leftrightarrow {\left( {2{{\log }_2}x} \right)^2} – 12{\log _2}x + 8 = 0.$
Đặt $t = {\log _2}x$, ta được:
$(1) \Leftrightarrow 4{t^2} – 12t + 8 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 1}\\
{t = 2}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\log }_2}x = 1}\\
{{{\log }_2}x = 2}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2}\\
{x = 4}
\end{array}} \right..$
So sánh điều kiện ta được nghiệm của phương trình là $x = 2$ hay $x = 4.$
b) $\frac{6}{{{{\log }_2}16x}} + \frac{4}{{{{\log }_2}\left( {{x^2}} \right)}} = 2$ $(1).$
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{0 < {x^2} \ne 1}\\
{0 < 16x \ne 1}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{0 < x \ne 1}\\
{x \ne \frac{1}{{16}}}
\end{array}} \right..$
Ta có: $(1) \Leftrightarrow \frac{6}{{{{\log }_2}16 + {{\log }_2}x}} + \frac{4}{{2{{\log }_2}x}} = 2$ $ \Leftrightarrow \frac{6}{{{{\log }_2}x + 4}} + \frac{2}{{{{\log }_2}x}} = 2$ $(2).$
Đặt $t = {\log _2}x.$
Phương trình $(2)$ trở thành:
$\frac{6}{{t + 4}} + \frac{2}{t} = 2$ $ \Leftrightarrow 6t + 2t + 8 = 2t(t + 4)$ $ \Leftrightarrow 2{t^2} – 8 = 0$ $ \Leftrightarrow t = \pm 2.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\log }_2}x = 2}\\
{{{\log }_2}x = – 2}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 4}\\
{x = \frac{1}{4}}
\end{array}} \right..$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = 4$ và $x = \frac{1}{4}.$