by Cho số phức $z$ có mô đun bằng $1$ và $\varphi $ là một acgumen của $z.$
Lời giải
a. Tìm một acgumen của $\frac{{\overline z }}{z}.$
b. Tìm một acgumen của $\overline z + z$ nếu $\cos \varphi \ne 0.$
Từ giả thiết suy ra $z = \cos \varphi + isin\varphi .$
a. Ta có
$\frac{{\overline z }}{z} = \frac{{\cos \varphi – i\sin \varphi }}{{\cos \varphi + i\sin \varphi }}$ $ = \frac{{\cos \left( { – \varphi } \right) + i\sin \left( { – \varphi } \right)}}{{\cos \varphi + i\sin \varphi }}$ $ = \cos \left( { – 2\varphi } \right) + i\sin \left( { – 2\varphi } \right).$
Vậy một acgumen của $z$ là $ – 2\varphi .$
b. Ta có: $\overline z + z = 2\cos \varphi .$
+ Nếu $\cos \varphi > 0$ thì $\overline z + z = 2\cos \varphi $ $ = 2\cos \varphi \left( {\cos 0 + i\sin 0} \right).$ Lúc đó $0$ là một acgumen của $\overline z + z.$
+ Nếu $\cos \varphi < 0$ thì $\overline z + z = – 2\cos \varphi .( – 1)$ $ = – 2\cos \varphi \left( {\cos \pi + i\sin \pi } \right).$ Lúc đó $\pi $ là một acgumen của $\overline z + z.$
